Пример 1.

1) на каком расстоянии от светофора автомобиль обгонит трактор;

2) скорость автомобиля при обгоне.

Решение. 1. Путь, пройденный автомобилем, определяется формулой

(1)

где а  –  ускорение автомобиля, м/с²; t –  время, в течение которого автомобиль обгонит трактор, с.

За время t такой же путь s пройдёт трактор, движущийся равномерно, т.е.

(2)

где  –  скорость трактора, м/с.

К моменту обгона трактора автомобиль и трактор пройдут одинаковый путь s. Приравнивая правые части (1), (2), получаем , (3) или

(3)

Путь s, пройденный автомобилем от светофора до обгона, получим из (1), подставив вместо t выражение (3'):

(4)

Проверим формулу (4):

Выразим в СИ скорость трактора:

Вычислим искомое расстояние от светофора до места обгона:

2. Скорость автомобиля, движущегося равноускоренно, выражается формулой . При подстановке в нее выражения (3') получим

Вычислим искомую скорость автомобиля:

Пример 2.

Решение. 1. На тело массой m₂ действуют сила тяжести и сила натяжения Т нити. Силы, направление которых совпадает с направлением ускорения, будем считать положительными, а силы, направление которых противоположно направлению ускорения, — отрицательными. Запишем второй закон Ньютона для тела m₂:

(1)

где а  –  ускорение тела, g  –  ускорение свободного падения.

На тело m₁ действуют сила тяжести g, сила натяжения Т нити и сила реакции N стола. Силы N и m₁ g, равны по модулю и противоположно направлены, поэтому их равнодействующая равна нулю. В противном случае m₁ двигалось бы ускоренно вверх или вниз.

Второй закон Ньютона в скалярном виде для тела m₁ имеет вид

(2)

Чтобы найти ускорение, сложим левые и правые части (1) и (2):

или , откуда

(2)

Выразим массу тел m₁ и m₂ в единицах СИ: m₁=0,25 кг и m₂=0,4 кг. Вычислим ускорение а по формуле (3):

2. Силу натяжения нити найдем, подставив полученный результат в уравнение (2):

Пример З.

Решение. 1. На тело в верхней точке действуют: сила тяжести P=mg и сила N натяжении стержня (рис. 2). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т. е, с центростремительным ускорением

(1)

где ω  –  угловая скорость, R  –  радиус траектории. Учитывая, что можем записать:

(2)

где n  –  частота вращения.

Направление сил N и Р совпадает с вектором а_цс, поэтому второй закон Ньютона запишем в проекции на направление сил:

(3)

или с учетом (2)

(4)

откуда

(5)

Выразим в СИ числовые значения R и g: R=0,125 м; g=9,81 м/c².

Вычислим по формуле (5) искомое натяжение стрежня в верхней точке траектории:

2.В нижней точке траектории на тело действуют ( рис.3) те же силы mg и N. Однако сила mg в данном случае направлена противоположно вектору a_цс. В связи с этим второй закон Ньютона имеет вид

откуда

После подстановки имеем:

Пример 4.

Решение. Подъемный кран, поднимая груз на высоту h, увеличивает его потенциальную энергию. Работа А, совершаемая двигателем подъемного крана, идет па подъём груза и на работу против сил трения в механизмах. Полезная работа А_п двигателя равна увеличению потенциальной энергии груза:

(1)

где g— ускорение свободного падения. Коэффициент полезного действия η равен отношению полезной мощности N_п ко всей потребляемой мощности N:

(2)

Учитывая, что , запишем выражение (2) в виде

(3)

Мощность двигателя равна

(4)

Проверим формулу (4):

Выпишем в СИ числовые значения ряда величин, входящих в (4):

t

(5)

Вычислим искомую мощность двигателя:

Пример 5.

Решение. 1. При равномерном вращении тела уменьшение длины нити создается силой F, направленной вдоль радиуса R₁. Плечо R этой силы равно нулю, следовательно, момент силы M=FR также равен нулю.

Вращение тела, свободного от действия моментов сил, подчиняется закону сохранения момента импульса:

(1)

где j₁ –  момент инерции, ω₁  –  угловая скорость тела в начальный момент времени; j₂ и ω₂ — то же в конечный момент времени.

Следовательно, начальный момент импульса j₁ ω₁ равен моменту импульса j₂ ω₂ тела после укорачивания нити.

Считая, что тело представляет собой материальную точку, определим его момент инерции:

(2)

где R — радиус окружности, по которой вращается тело. Угловую скорость выразим через линейную:

(3)

Для начального момента времени по формулам (2) и (3) получим

(4)

После укорачивания нити

(5)

Подставляя в (1) выражения (4) и (5), получаем

(6)

После преобразований с учетом того, что R₂=R₁ –  l, окончательно имеем

(7)

или

(8)

Проверим расчетную формулу (8):

Выразим числовые значения величин в СИ: v₁=1,50 м/с; R₁=0,80 м; l=0,30 м. Вычислим искомую конечную скорость:

2. Для определения частоты вращения n₂ после укорачивания нити воспользуемся формулами и . Приравнивая их правые части, получаем

(9)

откуда

(10)

Проверим формулу (10):

Вычислим искомую конечную частоту вращения:

Пример 6.

Решение. Кинетическая энергия диска равна сумке кинетических энергий поступательного и вращательного движении:

(1)

Здесь

где m — масса диска;

 –  скорость поступательного движения;

 – момент инерции диска;

 –  угловая скорость диска;

R — радиус окружности диска.

Подставив в (1) выражения для Е_пост, Е_вр, j и ω, получим

Выражение, полученное нами, можно использовать для записи полной кинетической энергии Е₁ до удара о стену и полной кинетической энергии Е₂ после взаимодействия со стеной:

Разность кинетических энергий

Подставив данные условия задачи, вычислим искомую разность энергий:

Знак «минус» показывает, что произошло уменьшение кинетической энергии диска.

Пример 7.

Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:

(1)

где х –  смещение точки, А  –  амплитуда, ω  –  круговая частота, t  –  время. По определению скорость равна производной от смещения по времени:

(2)

Подставив (1) в (2), продифференцируем полученное выражение:

(3)

По определению ускорение времени равно производной от скорости по времени:

(4)

Подставив (3) в (4), продифференцируем полученное выражение:

(5)

Из сравнения уравнения и формулы (1) видно, что . Тогда [см. (3) и (5)].

,

(6)

Проверим формулы (6):

Вычислим искомые скорость и ускорение точки:

.