1. в узле разветвленной цепи сумма токов равна нулю;
2. в замкнутом контуре разветвленной цепи сумма падений напряжения на отдельных участках равна сумме ЭДС источников тока, включенных в контур

Примеры решения задач

Пример 18.

Рисунок 4

(1)

После того как к шарику был поднесен снизу отрицательный заряд, на него кроме силы тяжести Р действует сила F_к, направленная вниз и определяемая по закону Кулона (рис. 4). В этом случае сила натяжения Учитывая равенство (1), запишем

(2)

Выразив в (2) Fк по закону Кулона к силу тяжести P через массу тела m и ускорение свободного падения g получим

откуда

(3)

Проверим единицы правой и левой частей расчетной формулы (3):

Выпишем числовые значения в СИ: m = 9·10 ^-5 кг; r = 10^-2 м; еε = 1; g = 9,81 м/с²; ε₀ = 8,85·10^-12 Ф/м. Вычислим искомый заряд:

Пример 19.

На заряд Q₃ действуют две силы: F₁, направленная к заряду Q₁ и F₂, направленная к заряду Q₂. Заряд Q₃ будет находиться в равновесии, если равнодействующая этих сил равна нулю:

или

(1)

Рисунок 5

т. е, силы F₁ и F₂ должны быть равны по модулю в направлены в противоположные стороны. Силы будут противоположны по направлению только в том случае, если заряд Q₃ находится в точке на отрезке прямой, соединяющем заряды Q₁, и Q₂ (рис. 5). Для равенства сил необходимо, чтобы заряд Q₃ находился ближе к меньшему заряду Q₂. Так как векторы сил F₁, и F₂ направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно, опуская знак «минус», заменить скалярным:

(2)

Выразив силы F₁, и F₂ по закону Кулона, (2) запишем в виде

или

Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, находим

откуда

(3)

Выпишем числовые значения величии, входящих в (3) в СИ: Q₁  = 5·10 ^-9 Кл; Q₂  = 3·10 ^-9 Кл; d = 0,2 м. Вычисления:

Из двух значений корня r₁ = 11,3 см. и r₂ = -11,3 см берем первый, так как второй не удовлетворяет условию задачи, Итак, для того чтобы заряд Q₃ находился в равновесии, его надо поместить на прямой, соединяющей заряды Q₁ и Q₂ на расстоянии r = 11,3 см. от заряда Q₁ (рис. 5).

Пример 20.

Рисунок 6

На заряд Q, расположенный в центре треугольника, действуют три силы:      (рис. 6). Так как заряды Q₁ и Q₂ равны и находятся на одинаковых расстояниях от заряда Q, то

(1)

где F₁ — сила, действующая на заряд Q со стороны заряда Q₁; F₂ — сила, действующая на заряд Q со стороны заряда Q₂ . Результирующая этих сил

и ее значение

или, учитывая (1)

(2)

Кроме этой силы заряд Q испытывает действие силы F₃, со стороны заряда Q₃. Искомую силу F, действующую на заряд Q, найдем как результирующую сил F´ и F₃:

Так как F´ и F₃ направлены по одной прямой и в одну сторону, то это векторное равенство можно заменить скалярным: или, учитывая (2),

Выразив здесь F₁ и F₂ по закону Кулона, получим

(3)

Из рис. 6 следует, что

С учетом этого формула (3) примет вид :

(4)

Проверим расчётную формулу (4):

Выпишем числовые значения величии в СИ: Q₁  = Q₂  = -1·10 ^-8 Кл; Q₃  = 2·10 ^-8 Кл; ε = 1; ε₀ = 8,85·10 ^-12Ф/м; a = 0,2 м. Вычислим искомую силу:

Примечание. В формулу (4), подставлены модули зарядов, поскольку их знаки учтены при выводе этой формулы.

Пример 21.

Рисунок 7

Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е результирующего электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей Е₁ и Е₂ полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрических полей, создаваемых в вакууме первым и вторым зарядами, равны соответственно:

(1)

(2)

Вектор Е направлен по прямой, соединяющей заряд Q₁ и точку А, от заряда Q₁, так как он положителен; вектор Е₂ направлен по прямой, соединяющей заряд Q₂ и точку А, к заряду Q₂ так как заряд отрицателен. Модуль вектора Е найден по теореме косинусов:

(3)

где α — угол между векторами Е₁ и Е₂. Из треугольника со сторонами d, r₁ и r₂ найдем

(4)

Подставляя выражение Е₁, из (1), Е₂ из (2) в (3), получаем

(5)

Выпишем числовые значения величии в СИ: Q₁  = 2·10 ^-9 Кл; Q₂  = -3·10 ^-9 Кл; d = 0,2 м; r₁  = 0,15 м; r₂  = 0,1 м; ε = 1; ε₀ = 8,85·10 ^-12Ф/м; Вычислим значение cosα по (4):

Вычислим искомую напряженность:

Примечание. В формулу (5) подставлены модули зарядов, так как их знаки учтены при выводе этой формулы.

2. Потенциал в точке А поля равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в этой точке зарядами Q₁ и Q₂:

(6)

Вычислим искомый потенциал:

Пример 22.

При обращении электрона по круговой орбите центростремительной силой является сила электрического притяжения электрона и протона, т. е. справедливо равенство

(1)

Центростремительная сила определяется по формуле

(2)

где m — масса электрона, движущегося по окружности; u — скорость обращения электрона; r — радиус орбиты. Сила F_к взаимодействия зарядов согласно закону Кулона выразится формулой

(3)

где Q₁ и Q₁— абсолютные значения зарядов; ε — относительная диэлектрическая проницаемость;ε₀ — электрическая постоянная. Подставляя в (l) выражения F_цс из (2) и F_к из (3), а также учитывая, что заряд протона и электрона, обозначаемый буквой е, одинаков, получаем

откуда

(4)

Выпишем числовые значения величии в СИ:

e  = 1,6·10 ^-19 Кл;

ε = 1;

ε₀ = 8,85·10 ^-12Ф/м;

r  = 0,53·10 ^-10 м;

m = 9,1·10 ^-31 кг.

Вычислим искомую скорость:

Пример 23.

Потенциал точки поля, созданного точечным зарядом, определяется по формуле

(1)

где ε₀ — электрическая постоянная; ε — диэлектрическая проницаемость. Из формулы (1) выразим Q:

(2)

Для любой точки поля точечного заряда справедливо равенство

(3)

Из этого равенства можно найти напряженность поля. Выпишем числовые значения величии, выразив их в СИ:

r = 0,1 м;

φ₁ = 300 В;

ε = 1;

ε₀  =  8,85·10 ^-12Ф/м.

Подставим числовые значения в (2) и (3):

Пример 24.

На электрон, находящийся в электрическом поле, действует сила

(1)

где е — заряд электрона. Направление этой силы противоположно направлению силовых линий поля. В данном случае сила направлена перпендикулярно скорости u₀. Она сообщает электрону ускорение

(2)

где m - масса электрона.

где u₁ — скорость, которую получает электрон под действием сил поля. Скорость u₁ найдем по формуле

(3)

Так как скорости u₀ и u₁ взаимно перпендикулярны, то результирующая скорость

(4)

Подставляя в (4) выражение скорости по (3) и учитывая (1) и (2) получаем:

(5)

Выпишем числовые значения величин, входящих в (5) в СИ:

е =  1,6·10 ^-19 Кл;

m =  9,11·10 ^-31 кг ;

t =  105·10 ^-9 с;

u₀  =  2·10 ⁶ м/с;

Е =  10·10 ⁴ В/м.

Вычислим искомую скорость:

Пример 25.

Работа сил поля по перемещению заряда выражается формулой

(1)

где Q₁ – перемещающийся заряд; Φ_M – потенциал точки М поля; Φ_N – потенциал точки N поля. Так как поле создано точечным зарядом Q, то потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами:

(2)

(3)

где r_M и r_N – расстояние от заряда Q до точек M и N. Подставляя выражения для φ_M и φ_N из (2) и (3) в (1), получаем

(4)

По условию задачи r_N  =  2r_M.Учитывая это, получаем r_N  -  r_M =  r_M. Тогда

откуда

(4)

Выпишем числовые значения величин в СИ:

Q₁  =  1·10 ^-9 Кл;

Q  =  4·10 ^-8 Кл;

А  =  1·10 ^-7 Дж;

ε₀  =  8,85·10 ^-12Ф/м .

Вычислим искомое расстояние:

Пример 26.

По закону сохранения энергии кинетическая энергия Т, приобретенная зарядом (электроном), равна работе А, совершаемой электрическим полем при перемещении электрона:

(1)

Работа сил электрического поля при перемещении электрона

(2)

где e — заряд электрона. Кинетическая энергия электрона

(3)

где m- масса электрона;u- его скорость. Подставив в (1) выражения Т и А из (2) и (3), получим , откуда

(4)

Выпишем числовые значения величин входящих в (4), в СИ: U=800 В; e  =  1,6·10 ^-19 Кл; m  =  9,11·10 ^-31 кг. Вычислим искомую скорость:

Пример 27.

До раздвижения пластин емкость плоского конденсатора

(1)

где ε— диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего пространство между пластинами конденсатора; ε₀ — электрическая постоянная; S — площадь пластин конденсатора. Напряжение на пластинах конденсатора

(2)

где Q — заряд конденсатора. Подставляя в (2) выражение емкости конденсатора из (1),находим

(3)

Аналогично получим напряжение между пластинами после их раздвижения:

(4)

В выражениях (3) и (4) заряд Q одинаков, так как конденсатор отключен от источника напряжения и никаких потерь заряда не происходит. Разделив почленно (3) на (4) и произведя сокращения, получим откуда

(5)

Выпишем числовые значения в СИ: U₁ = 300 В; d₁ = 0,03 м; d₂ = 0,06 м. Вычислим

Пример 28.

Энергия конденсатора может быть определена по формуле

(1)

где С — емкость конденсатора; U — разность потенциалов, до которой заряжены его пластины. Но

(2)

где ε - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей, пространство между пластинами; ε₀ — электрическая постоянная (ε₀  =  8,85·10^-12 Ф/м). Подставив выражение С по формуле (2) в формулу (1),получим

(3)

Объёмная плотность энергии поля конденсатора — физическая величина, определяемая отношением энергии к объему, и поэтому может быть определена по формуле

(4)

где V = Sd – объем пространства между пластинами конденсатора.

Запишем числовые значения величин, входящих в (4), в СИ:

S  =  50·10^-4 м² ;

ε  = 5 ;

d =  2·10^-3 м.

Вычислим искомые величины по формулам (3) и (4):

Пример 29.

Электродвижущую силу динамомашины определим по закону Ома для полной цепи:

r = r1 / n +r2

(1,2)

где I  –  сила тока в цепи; r –  сопротивление внешней цепи. Силу тока в цепи найдем по закону Ома для участка цепи:

(3)

Подставив в (1) выражение r из (2) и I из (3), получим

Вычислим искомую э.д.с. дииамомашины, подставив в (4) данные условия:

Пример 30.

Мощность двигателя выражается формулой

(1)

Коэффициент полезного действия двигателя

(2)

где N — полезная мощность. Но

(3)

где N₂  =  I² r –  мощность, расходуемая на нагревание обмоток двигателя. Подставляя в (2) выражения для N₁, N и N₂, получим

(4)

Выпишем числовые значения величин, входящих в (4), в СИ: U = 120 В; I = I0 А; r = 3 Ом. Вычисления:

Пример 31.

Электродвижущая сила ε, возникающая в термопаре при разности температур ее спаев, вычисляется по формуле C

(1)

Согласно закону Ома

(2)

где I  –  сила тока в цепи термопары; r₁  –  полное сопротивление цепи; r₂  –  сопротивление гальванометра. Приравнивая правые части (1) и (2), получаем ,откуда

(3)

Но

где n  –  число делений, на которое отклонилась стрелка гальванометра при силе тока I. Подставив указанные выражения Δt и I в (3) и сократив полученное выражение на n, найдем

(4)

Выпишем числовые значения величин, входящих (4), а СИ: Вычисления:

(3)