Примеры решения задач

Пример 1.

Рисунок 8

На рис. 8 провода расположены перпендикулярно плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводив. Условимся, что ток I₁, течет к нам, а ток I₂ –  от нас. Общая индукция В в точке А равна векторной (геометрической) сумме индукции В₁, и В₁ полей, создаваемых каждым током в отдельности т. е,

(1)

Для того чтобы найти направление вектора В₁ и В₂, проведем через точку А силовые линии магнитных полей, созданных токами I₁ и I₂.

Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрические окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого во направлению тока (правило буравчика) Поэтому силовая линия магнитного поля тока I₁, проходящая через точку А, представляет собой окружность радиусом I₁ A, а силовая линии магнитного поля тока I₂, проходящая через эту же точку, — окружность радиусом I₂ A (на рис. 8 показана только часто этой окружности). По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного ноля тока I₁ направлена против часовой стрелки, а тока I₂ –  по часовой стрелке.

Теперь легко найти направления векторов В₁ и В₂ в точке А: каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке. Так как векторы В₁ и В₂ направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить алгебраическим равенством

(2)

Индукция магнитного поля тока I, текущего по прямому бесконечно длинному проводу, вычисляется по формуле

(3)

где μ₀  –  магнитная постоянная; μ  –  магнитная пропицаемость среды, в которой провод расположен; r  – расстояние от провода до точки, в которой определяется индукция. Подставив выражения В₁ и В₂ в равенство (2), получим

или

(4)

Запишем в СИ числовые значения некоторых величии: r₁ = 0,02 м, r₂ = d+r₁ = 0,06 м, μ₀ = 4π ·10^-7 Гн/м, μ = 1. Вычислим искомую индукцию:

(3)

Пример 2.

Индукция магнитного поля на оси соленоида вычисляется по формуле

(1)

Здесь n = 1/d; d – диаметр проволоки; n – число витков на единицу длины соленоида; I –  сила тока, текущего по обмотке соленоида. Силу тока, текущего по обмотке, найдём по закону Ома для участка цепи:

Подставим значения n и I в равенство (1):

(2)

Выпишем числовые значения величин входящих в (2), в СИ: μ₀ = 4π ·10^-7 Гн/м, μ = 1. d = 10^-4 м. Вычисления:

Пример 3.

Сила, с которой однородное магнитное поле действует на прямой провод с током, вычисляется по закону Ампера:

(1)

где I  –  сила тока, текущего по проводнику; l –  длина проводника; В  –  индукция магнитного поля, в которое проводник помещён; а- угол между направлениями тока и линий индукции. Из формулы (1) найдем

(2)

Выпишем числовые значения величин входящих в (2), в СИ: F = 2,6· 10^-3 Н; I = 0,5 А; l = 0,1 м; α  = 90º; sinα  = 1. Вычисления:

Пример 4.

На заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила F_л, называемая силой Лоренца. Она вычисляется по формуле , где e  –  заряд частицы; v  –  ее скорость; В  – индукция магнитного поля, в котором движется частица; α  –  угол между направлениями векторов скорости и индукции. Поскольку по условию задачи протон движется по замкнутой траектории (окружности), можно заключить, что составляющая вектора скорости в направлении вектора В равна нулю, т. е. α  = 90º, sinα = 1.

Направление силы Лоренца подчиняется, как известно, правилу левой руки. Угол между направлениями v и F_л всегда составляет 90º. Следовательно, сила Лоренца является центростремительной силой, т.е. или

где m  –  масса протона; R  –  радиус окружности, по которой движется протон. Тогда

(1)

Протон получил скорость, пройдя, ускоряющую разность потенциалов По закону сохранения энергии работа, совершенная полем при перемещении протона, равна кинетической энергии, приобретенной протоном, т, е.

(2)

Работа сил электрического поля при перемещении протона определяется по формуле

(3)

Кинетическая энергия протона

(4)

Подставив выражение А по (З) и выражение Т по (4) в (2), получим , откуда

(5)

Подставляя выражение для v в (1), находим

(6)

Проверим расчетную формулу (6):

Выпишем в СИ числовые значения недостающих величин ; . Вычислим искомый радиус

Пример 5.

Магнитный момент рамки с током

(1)

где I - сила тока в витке; площадь, охватываемая витком N - число витков рамке. Индукция магнитного поля в центре кругового тока (многовиткового) , откуда Подставляя в (1) выражения для I и S, получаем

(2)

Выпишем числовые значения величин, входящих в (2), в СИ: Вычислим искомый магнитный момент:

Пример 6.

Используя понятие угловой скорости вращении (ω  = 2π/T  = 2πn, где T  – период вращения; n  – частота вращения), определим частоту вращения рамки:

(1)

Угловую скорость вращения найдем из соотношения

(2)

Где ε –  мгновенное значение э.д.с. индукции. Амплитудой ε является значение ε_макс , соответствующее значению sinωt = 1. Из соотношения (2) имеем

(3)

Подставив выражение ω по (3) в (1),получаем

(4)

Выразим значения ряда величин, входящих в формулу (4), в СИ: Выполним вычисления:

Пример 7.

Индуктивность соленоида вычисляется по формуле

(1)

где n  –  число витков, приходящихся на единицу длины соленоида; V –  объем соленоида. Число витков n получим, разделив единицу длины на диаметр провода:

(2)

Объем соленоида V = Sl, где S –  площадь поперечного сечения соленоида; l – длина соленоида. Подставим выражения для n и V в равенство (1):

(3)

Выпишем числовые значения величин, входящих в (3), в СИ:

Вычисления:

При наличии тока в соленоиде любое его поперечное сечение пронизывает магнитный поток

(4)

где В  –  магнитная индукция в соленонде. Магнитная индукция соленоида определяется по формуле

Подставив выражения n и В по (2) и (5) в (4), получим расчетную формулу

Выполним вычисления, подставив в расчетную формулу значения величин I, S и d в СИ:

Пример 8.

Из формулы емкости плоского конденсатора

(ε₀  –  электрическая постоянная; ε  –  диэлектрическая проницаемость среды мёжду пластинами конденсатора; S  –  площадь пластины конденсатора; d  –  расстояние между пластинами) может быть найдено искомое расстояние

(1)

Из формулы Томсона, определяющей период колебаний Т в колебательном контуре, найдем емкость ), где L  –  индуктивность катушки. Подставив это выражение С в (1), получим

(2)

Выразим некоторые величины, входящие в расчетную формулу (4), в СИ:

Вычислим искомое расстояние: