Примеры решения задач

Пример 9.

Рисунок 9

Расстояние l между лампами можно определить из формулы прямоугольного треугольника

(1)

Лампу можно принять за точечный источник света, так как ее размеры малы по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется освещенность. Поэтому определить расстояние r от лампы до точки A можно из формулы освещенности:

(2)

где α  –  угол, под которым падают лучи; Е  – освещенность, создаваемая одной лампой, I –  сила источника света. Подставив в (2) определим r:

(3)

Подставим выражение (3) в (1) :

(4)

Вычисления:

(3)

Пример 10.

Увеличение микроскопа

(1)

Рисунок 10

где β₁  –  увеличение объектива; β₁  –  увеличение окуляра, определённые по формулам

(2)

(3)

где s‵  –  расстояние от объектива до даваемого им действительного изображения; 0,25  –  расстояние наилучшего видения для нормального глаза, м. С учетом (2) и (3) формула (1) примет вид

(4)

Расстояние s‵ от объектива до изображения можно найти из формулы линзы:

(s  –  расстояние от предмета до линзы), откуда

Подставив выражение для s‵ в (4), получим

(5)

Выпишем в СИ величины, входящие в расчетную формулу (5):

Длину тубуса определим, исходя из следующих соображений. Действительное изображение, даваемое объективом, должно лежать в фокусе окуляра, так как окуляр действует как лупа (рис.10). Поэтому длина тубуса

(6)

Вычисления:

Пример 11.

(Рисунок 11)

Число штрихов N на 1 мм решетки определим по формуле

(1)

Где d  –  период решётки (рис.11). Период решётки найдем из условия максимума:

(2)

где φ  –  угол, под которым наблюдается k – й максимум;k – порядок (номер) максимума. Ввиду того что для максимума 1 – го порядка угол мал, можно принять

(3)

Подставив в формулу (2) выражение синуса угла из (3), определим постоянную решетки:

(4)

С учетом (4) формула (1) примет вид

(5)

Выпишем числовые значения величин, входящих в (5), в СИ

Вычисления:

Пример 12.

Определить концентрацию С сахарного раствора, если при прохождении света через трубку с этим растворам длиной l = 20 см плоскость поляризации света поворачивается па угол φ  = 10º. Удельное вращение сахара в растворе

Из формулы для угла поворота плоскости поляризации определим концентрацию раствора:

(1)

(2)

Выпишем числовые значения величии, входящих в (2) в СИ:

Вычислим искомую концентрацию:

Пример 13.

Излучательность абсолютно черного тела определяется из закона Стефана-Больцмана:

(1)

где ς  –  постоянная Стефана—Больцмана; Т  –  термодинамическая температура тела. Из закона смещения Вина

(2)

определим термодинамическую температуру:

(3)

где λ_м –  длина волны, на которую приходится максимум излучения при температуре T; С′ –  постоянная Вина. Подставив выражение T из (2) в (1), получим

(4)

Энергию, излучаемую с площади S поверхности тела за время t, определим по формуле

(5)

По закону Эйнштейна взаимосвязи энергии и массы

(6)

(с  –  скорость света в вакууме,W – энергия) найдём массу излучения:

(7)

Проверим формулу (3):

(7)

Запишем в СИ величины, входящие в формулы (3), (4) и (6):

Вычислим искомые величины по формулам (3),(4) и (6):

Пример 14.

Для предпосевного облучения семян применен лазер, излучающий электромагнитные волны длиной λ = 632 нм. Интенсивность излучения Определить число фотонов, поглощённых семенем, площадью S = 5 мм². Время облучения 10 мин.

Количество фотонов, поглощённых семенем, равно

(1)

Где W – энергия падающего света на семя, ε  –  энергия фотона. Энергия света, падающего на семя,

(2)

где J – интенсивность излучения, т. е. энергия света, падающего на 1 м² за 1 с; S  –  площадь; t  –  время. Энергия фотона определяется формулой Планка

(3)

где h  –  постоянная Планка, с  –  скорость света,λ  –  длина волны. Подставив (2) и (3) в (1), получим

Вычисления:

(1)

Пример 15.

Облученность определяется по формуле

(1)

Выпишем в СИ значения входящих в эту формулу величин:

S  = 3· 10^-4 м²;

Вычисления:

2. Световое давление определяется по формуле

где - объёмная плотность энергии излучения; с - скорость света в вакууме; ρ-коэффициент отражения. Если поверхность полностью поглощает лучи, то ρ = 0 и тогда

Если поверхность полностью отражает лучи, то ρ= 1 и тогда

(1)

Пример 16.

1. Кинетическую энергию фотоэлектронов определим из формулы Эйнштейна для фотоэффекта:

(1)

где h –  постоянная Планка;ν  –  частота света; А  –  работа выхода электрона; - кинетическая энергия фотоэлектронов; m –  масса электрона; с  –  скорость фотоэлектрона. Из формулы (1) следует:

(2)

Частоту света определим по формуле

(31)

где с скорость света; λ — длина волны падающего света. Для поверхности металла, освещенной светом частотой ν_гр соответствующей красной границе фотоэффекта, кинетическая энергия фотоэлектронов равна нулю и формула (1) примет вид

(4)

Отсюда найдем работу выхода или

(5)

где λ_гр – красная граница фотоэффекта, т.е. максимальная длина волны, при которой ещё возможен фотоэффект. Подставим в (2) выражение для ν из (3) и для А из (5):

(6)

Проверим формулу (6): Дж  =  Дж · с · м/с · 1/м = Дж.

Выпишем числовые значения величин в СИ:

h = 6,63 · 10^-34 Дж·с;

с = 3 · 10⁸ м/с;

λ = 4 · 10^-7 м;

λ_гр  =  6·10^-7 м.

Вычисления:

(1)

(1)

(1 эВ=1,60·10^-19Дж) один электрон-Вольт.

2. Из формулы    определяем скорость фотоэлектронов:

Учитывая, что m = 9,11 · 10^-31 кг, вычислим искомую скорость фотоэлектронов:

Пример 17.

Переход электрона в атоме водорода с отдаленной орбиты на внутреннюю связан с излучением фотона (кванта энергии):

(1)

где ε - энергия фотона; h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме; ν, ε - частота и длина волны, соответствующие фотону с энергией ε. Длина волны излучаемого света связана с номером орбит соотношением:

(1)

где R – постоянная Ридберга; n – номер энергетического уровня, на который переходит электрон; k – номер энергетического уровня, с которого уходит электрон.

Подставляем в (2) R = 1,1 · 10⁷ м^-1; n=1; k=3 и вычисляем длину волны λ:

В выражение (1) подставляем числовые значения h, c, ε и вычисляем ε:

Пример 18.

Навеска почвы, в которую внесено удобрение с радиоактивны фосфором , имеет активность А=10мкКи (микро Кюри). Определить массу m радиоактивного фосфора в навеске. Период полураспада изотопа Т_1/2=14,28 дня.

Массу радиоактивного вещества можно определить из формулы:

(1)

где N – число атомов (ядер); m/M – число молей; m – масса вещества; M – молярная масса вещества; N_A – постоянная Авогадро. Из формулы (1) определим m:

(2)

Число атомов (ядер) связано с активностью А вещества:

(3)

где λ - постоянная распада, связана с периодом полураспада Т_1/2 зависимостью:

(4)

(5)

Выразим величины, входящие в (5), в СИ:

А = 10·3,7·10⁴ Бк (Беккерелей);

М = 32·10^-3 кг/моль;

N_A = 6,02·10²³ моль^-1;

Т_1/2 = 14,28 дня·24 час·3600 с.

Пример 19.

Определить дефект массы Δm и энергию связи Е_св ядра атомов бора .

Дефект массы ядра представляет собой разность массы нуклонов (протонов и нейтронов), составляющих ядро, и массы ядра и определяется по формуле

(1)

Где Z – зарядовое число (число протонов в ядре);(A-Z)-число нейтронов в ядре; m_p – масса протона; A – массовое число (общее число нуклонов в ядре); m_n – масса нейтрона; m_я – масса ядра. Числа Z и А указываются при написании символа элемента: Z – слева внизу; А – слева вверху. В данном случае для бора Z=5, A=10. Массу ядра найдем по формуле

(2)

где m_а – масса нейтрального атома; m_е – масса электрона. Чтобы не вычислять каждый раз массу ядра, преобразуем формулу (1) с учетом (2):

(3)

(атомной единицы массы)

Подставим числовые значения величин, входящих в (3), и вычислим дефекты массы ядра бора:

Энергия связи ядра – энергия, выделяющаяся при образовании ядра в виде электромагнитного излучения, определяется по формуле

(4)

где с – скорость света в вакууме. Если энергию связи Е_св выражать в мегаэлектрон-вольтах, дефект массы ядра Δm в атомных единицах, то формула (4) принимает вид

(5)

где 931 – коэффициент, показывающий, какая энергия в мегаэлектрон-вольтах соответствует массе 1 а.е.м. Подставив значение Δm в (4), вычислим энергию связи:

Пример 20.

Вычислить энергию ядерной реакции . Выделяется или поглощается энергия?

Энергию ядерной реакции определяем по формуле

(1)

где Δm – изменение массы при реакции, т.е. разность между массой частиц, вступивших в реакцию, и массой частиц, образовавшихся в результате реакции:

(2)

Здесь – масса атома кислорода;

– масса атома дейтерия (изотопа водорода);

– масса атома азота;

– масса атома гелия.

По формуле (2) вычисляем изменение массы при реакции Δm:

.

Подставляем числовое значение Δm в (1) и вычисляем энергию ядерной реакции:

В результате ядерной реакции выделяется энергия, так как масса исходных ядер больше массы ядер, образовавшихся в результате реакции.