8. Пример выполнения расчетной части проекта

8.1. Оптимизации запасов ресурсов
в традиционной постановке

Одной из важнейших задач логистики является задача оптимизации величины запасов ресурсов, необходимых для реализации производственной программы. Излишние запасы ресурсов приводят к увеличению потерь предприятия, связанных с хранением этих излишков, и потерь вследствие иммобилизации финансовых средств. Дефицит ресурсов приводит к недовыпуску продукции и к связанным с этим потерям (потери прибыли, штрафы посредникам и пр.).

Задача оптимизации производственной программы предприятия в простейшем случае имеет вид:

Например, пересчет элемента первого столбца первой строки:

(8.1)

где c_ij – нормы расхода j-того вида ресурсов на производство единицы i-того вида продукции;

C_j – запасы ресурсов j-того вида;

n – количество видов продукции;

m – количество видов ресурсов;

F – целевая функция (прибыль);

p_i – прибыль от реализации единицы i-того вида продукции.

Под ресурсами здесь следует понимать сырье, материалы, оборудование, трудовые ресурсы и пр.

Решение этой задачи позволяет при имеющихся запасах ресурсов определить оптимальное количественное соотношение выпускаемых изделий, но никак не учитывает потерь, связанных с хранением излишних запасов и с иммобилизацией денежных средств, связанных с этими ресурсами.

Пример решения задачи традиционным способом

Составим математическую модель задачи. В качестве элементов решения задачи примем Х1 – число коров, Х2 – число десятков куриц.

На содержание одной коровы в год расходуется 2,1 т силоса, запас которого составляет 1050 т. Таким образом получаем первое ограничение:

Аналогично получаем ограничения и по другим ресурсам:

Естественные или тривиальные ограничения:

Прибыль, получаемая от реализации одной коровы, составляет 40 у.е., а от десятка куриц – 1 у.е. за десяток. В результате прибыль, получаемая от всей продукции, определяется выражением:

Тогда математическая модель будет иметь вид:

F=40Х1+1Х2 → max

Приведем задачу к канонической форме путем введения дополнительных переменных:

F – 40Х1 – 1Х2 = 0.

Это задача линейного программирования с двумя переменными. Она может быть решена графическим и симплекс-методом [ 1, 2 ].

При решении задачи графическим методом переходим от неравенств к равенствам:

Это уравнения прямых линий, которые могут быть легко построены по двум точкам.

Первое ограничение – вертикальная прямая линия при

Второе ограничение строим по двум точкам:

Третье ограничение – горизонтальная линия при

Четвертое ограничение – вертикальная прямая при

Пятое ограничение – линия, которая строится по двум точкам:

Тривиальные ограничения располагаются по осям.

Каждое ограничение неравенство отсекает полуплоскость. Система ограничений неравенств, если они совместны (не противоречат друг другу), образуют многоугольник допустимых решений. Оптимальное решение достигается в одной из вершин этого многоугольника. Для определения этой вершины необходимо построить линию уровня и перемещать ее в направлении градиента до крайней точки области допустимых решений.

Целевая функция может быть также построена по двум точкам. Придадим значение F=0:

Это также уравнение прямой линии.

Градиент целевой функции перпендикулярен линии уровня, и его координаты определяются частными производными по каждой переменной:

Результаты решения графическим методом приведены на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Графическое решение задачи (первая итерация)

Графический метод более нагляден, а симплекс-метод более точен и позволяет количественно определить остатки ресурсов.

Приведем задачу к канонической форме путем введения дополнительных переменных:

Дополнительные переменные определяются разностью между правой и левой частями ограничений-неравенств, те. разностью между запасами и использованием соответствующих ресурсов. Иначе говоря, они характеризуют остатки ресурсов.

Решение задачи симплексным методом приведено в табл. 8.2.

Решение задачи на этом этапе в краткой форме записи имеет вид:

Здесь значения переменных записаны в порядке возрастания их индексов, т е.

Таблица 8.2

Это означает, что при имеющихся запасах ресурсов максимальная прибыль, в размере 20033 у.е., может быть получена при производстве 500 коров и 33 десятков куриц. При этом остается излишек таких ресурсов, как комбикорм (Х4=82 т) и трудовые ресурсы (Х7=1966,6 чел.-дней).

Проверка:

Определим деньги, вложенные в ресурсы:

Для уменьшения затрат, связанных с хранением запасов, их излишки следует продать или сдать в аренду. Это позволит направить освободившиеся денежные средства на закупку дефицитных ресурсов с целью увеличения выпуска продукции. Однако полностью излишки продавать нецелесообразно, так как в этом случае эти ресурсы в свою очередь окажутся в дефиците, что не позволит увеличить объем выпуска продукции. Закупленные же ресурсы окажутся в избытке.

Увольняя часть рабочих, высвобождаем 1000 чел.-дней. Один человеко-день стоит 1160/365=3,178 у.е. Таким образом высвобождается 3,178×1000=3178 у.е. В результате получается экономия заработной платы в количестве 3178 у.е. Силос, зерно и выпас израсходованы полностью (Х3=Х5=Х6=0). На высвобожденную сумму можно закупить дефицитный силос – 40 т (40×25=1000 у.е.), зерно в количестве 18 т (18×60=1080 у.е.), кроме того, можно взять в аренду дополнительно 15,6 га для выпаса (15,6×70=1092 у.е.).

Финансовая проверка:

Вложенные в ресурсы деньги остались прежними, следовательно, управление запасами с финансовой точки зрения оказалось верным.

Таким образом, получается новая задача линейного программирования:

Ее графическое решение приведено на рис. 8.2, а аналитическое решение симплексным методом – в табл. 8.3.

Рис. 8.2. Графическое решение задачи (вторая итерация)

Таблица 8.3

Х1 округляем в меньшую сторону до ближайшего целого. Это естественно, так как нельзя вырастить 515,65 коровы. Х2 округляем до десятых, так как куриц считаем десятками.

Проверка:

При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 20686 у.е. может быть получена при производстве 515 коров и 63 десятков куриц. При этом выявлены излишки силоса (Х3=10,5), комбикорма (Х4=50,8) и трудовых ресурсов (Х7=734). Эти ресурсы можно реализовать и докупить на освободившиеся деньги дефицитное зерно и арендовать выпас.

Высвобождаем 700 чел.-дней и продаем 30 т комбикорма. В результате высвобождается 4145 у.е. (700×3,178=2225 у.е. и 30×64=1920 у.е.). На эту сумму мы закупаем дефицитные ресурсы: арендуем еще 36 га выпаса и закупаем 27 т зерна (36×70=2520 и 27×60=1625).

Финансовая проверка:

Получим новую задачу линейного программирования, решаемую графическим и симплексным методами.

Рис. 8.3. Графическое решение задачи (третья итерация)

Таблица 8.4

При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 83347,62 у.е. может быть получена при производстве 519 коров и 60 десятков куриц. При этом оказываются в дефиците силос и трудовые ресурсы.

Проверка:

Анализ переменных свидетельствует об избыточности комбикорма, зерна и выпасных площадей. Продаем 7 т комбикорма, 4 т зерна и 10 га пастбищ отдаем в аренду. При этом освобождаются деньги в сумме 1748 у.е. (7×64+4×60+10×70=1748). На эту сумму закупим дефицитные ресурсы – 17 т силоса и 416 чел.-дней (17×25+416×3,178=1748).

Финансовая проверка:

Получим новую задачу линейного программирования, решаемую графическим и симплексным методами.

Рис. 8.4. Графическое решение задачи (четвертая итерация)

Таблица 8.5

Проверка:

Некоторые несовпадения результатов проверок определяются округлением и составляют менее 0,1%.

При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 21157 у.е. может быть получена при производстве 527 коров и 71 десятка куриц. При этом остается недостаток таких ресурсов, как силос и комбикорм.

Анализ переменных свидетельствует об избыточности зерна, выпасных площадей и трудовых ресурсов. Сокращаем трудовые ресурсы на 90 чел.-дней. На освободившуюся сумму 286 у.е. (90×3,178=286) закупим дефицитные ресурсы: 4 т силоса и 3 т комбикорма (4×25+3×64).

Финансовая проверка:

Получим новую задачу линейного программирования, решаемую графическим и симплексным методами.

Рис. 8.5. Графическое решение задачи (пятая итерация)

Таблица 8.6

Проверка:

Финансовая проверка:

При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 85030,15 может быть получена при выращивании 529 коров и 69 десятков куриц. При этом остается излишек таких ресурсов, как зерно, выпас и трудовые ресурсы. Сокращаем последние на 30 чел.-дней и продаем 5 т зерна. При этом высвобождается 30×3,178+5×60=395 у.е. На эти деньги приобретаем комбикорм в количестве 6 т (395/64).

Получим новую задачу линейного программирования, решаемую графическим и симплексным методами.

Рис. 8.6. Графическое решение задачи (шестая итерация)

Таблица 8.7

Проверка:

Финансовая проверка:

При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 21257 у.е. может быть получена при производстве 259 коров и 86 десятков куриц. При этом остается излишек таких ресурсов, как зерно, в количестве 4 т, выпас – 12 га и трудовые ресурсы – 126 чел.-час.

Сокращаем трудовые ресурсы на 70 часов. В результате освобождается 3,178×70=222,5 у.е. На эти деньги закупаем дефицитный силос в количестве 222,5/25=8,9 т.

Получается новая задача линейного программирования:

Рис. 8.7. Графическое решение задачи (седьмая итерация)

Таблица 8.8

Проверка:

При имеющихся запасах сырья максимальная прибыль в размере 21410 у.е. может быть получена при производстве 533 коров и 77 десятков куриц. При этом остается излишек таких ресурсов, как силос – 64 т, зерно – 19 т и трудовые ресурсы – 7,5 чел.-дней.

Продаем силос в количестве 60 т. При этом высвобождается 60×25=1500 у.е. На эту сумму закупим 10 т комбикорма (10×64=640 у.е.) и арендуем дополнительно 12 га выпаса (12×70=840 у.е.).

Новая задача имеет вид:

Рис. 8.8. Графическое решение задачи (восьмая итерация)

Таблица 8.9

Проверка:

При имеющихся запасах сырья прибыль в размере 21774 может быть получена при производстве 54 коров и 54 десятков куриц. Продаем 10 т зерна, 5 т комбикорма и уменьшаем площадь арендуемого выпаса на 5 га. Освободившиеся деньги: 10×60+5×64+5×70=1270 у.е. На них приобретаем 24 т силоса и увеличиваем трудовые ресурсы на 47 чел.-часов (24×25+210×3,178=12676 у. е.).

Начиная с этой итерации, графический метод не используем, так как при незначительных изменениях запасов ресурсов он не нагляден.

Таблица 8.10

Проверка:

Ошибки составляют менее 1%. Однако еще есть значительные излишки зерна Х5=17,4 т, составляющие (46–17)/46×100=63% от имеющихся запасов. В дефиците же на данной итерации оказываются выпас и трудовые ресурсы.

Продаем 15 т зерна (15×60=900 у.е.) и приобретаем на освободившиеся деньги 10 га выпаса (10×70=700 у.е.) и 63 чел.-дней (63×3,178=200 у.е.).

Новая задача имеет вид:

Таблица 8.11

Проверка:

Еще есть излишки зерна Х5=9,9 т, составляющие (31–9,7)/31×100=69% от имеющихся запасов. В дефиците же на данной итерации оказываются комбикорм и выпас.

Продаем 7 т зерна (7×50=900 у.е.) и на освободившиеся деньги приобретаем 10 га выпаса (10×70=700 у.е.) и 63 чел.-дней (63×3,178=200 у.е.).

Новая задача имеет вид:

Таблица 8.12

Проверка:

Сдаем в аренду 10 га выпаса (10×70=700 у.е.) и сокращаем трудовые ресурсы на 100 чел.-дней (100×3,178=318 у.е.) и приобретаем на освободившиеся деньги 9,5 т силоса (9,5×25=237 у.е.) и 13 т зерна (13×60=780 у.е.).

Новая задача имеет вид:

Таблица 8.13

Проверка:

На этом этапе можно считать задачу завершенной, так как остатки ресурсов не превышают 1% от их запасов.