2.2.4. Философские проблемы математики
На протяжении многих веков математика считалась образцом точности и строгости для других областей научного знания. Поэтому математика является одной из интереснейших с точки зрения философии и методологии науки дисциплин. Она первой из наук приобрела теоретический вид и на долгие времена стала каноном научности30.
В XX веке влиятельной стала точка зрения на математику как на «язык», что изменило ее статус: из идеала научности она превратилась во вспомогательное средство, т.е. стала использоваться другими науками как средство моделирования. Но и в качестве методологического средства, в последнюю треть XX века и в начале XXI века математика продолжает оказывать влияние на другие науки. Существование математики как науки может быть рассмотрено в разных смыслах. Математика, как и всякая наука, может быть понята, прежде всего, как система знаний, в пространстве которого формируются важнейшие для философии науки проблемы.
Развитие математики исторически происходило в разных формах и было в основном связано со следующими ключевыми проблемами:
- определения природы и сущности математики (как особого рода определения теоретической деятельности; как особого рода практической деятельности);
- опредления логической когерентности математики;
- определения сущности и существования математических объектов;
- определения предметной области математики;
- определения методологической значимости математики.
А.В. Чусов, в своих лекциях по истории математики, на курсах переподготовки по истории и философии науки (2007, МГУ) утверждал: вопрос о том, что такое математика и как она существует, сегодня получает особенное развитие. Например, следует спрашивать, не каков статус математических объектов, а какая формальная онтология создает специфическую математическую теорию. Какими качествами должен обладать субъект для чувственного взаимодействия с объектами специальной математической теории? Какие виды связи формальных конструкций могут быть интерпретированы на развивающейся математической реальности? Какие символические средства позволят адекватно реализовать представление соответствующего мира объектов? Для ответов на эти вопросы необходимо использовать все имеющиеся в арсенале философии математики средства. Провозглашенный Галилеем принцип количественного подхода, согласно которому описание физических явлений должно опираться только на величины, имеющие количественную меру, становится фундаментальным принципом науки.
Мы будем говорить о философских проблемах математики современного этапа развития научного познания. Но этот разговор требует некоторого введения: необходимо составить общее представление о взглядах на природу математики в предшествующие эпохи. Начнем с «начала», поскольку математическое знание имеет давнюю историю.
Первые философские школы (пифагорейские, платоновские) вменяли в обязанность ученикам знание математики и геометрии. Изучение геометрии, музыки, астрономии, то есть наук, опирающихся на количественные характеристики, считалось существенным для понимания космоса (человека, природы, Богов), и никто не мог стать учеником философа, если не овладевал в достаточной степени этими науками. И не случайно тот, кого называют первым философом (Пифагор), определял знание как накопление, прибавление умственных плодов. По мнению древних, количественные характеристики пронизывают и предваряют качественные характеристики познаваемых объектов. У Пифагора – 10 – число, которое включает в себя совокупность геометрического образа космоса. Треугольник (∆) – 3 – с этой цифры начинается математика. Квадрат (□) – 4 – дополняет ряд. Итак, сложенные вместе числа и подкрепленные 1 – точкой (•) и 2 – линией (—), они давали в сумме 10 = (3 + 4 + 1 + 2). Причëм, 1 и 2 не считались числами. Они необходимы для того, чтобы построить архетип Вселенной – «10».
Симметричные геометрические тела имели для греческой философии и науки величественное значение. Для этого геометрическое тело должно иметь равное число граней, встречающихся в углах и эти грани должны быть правильными многоугольниками, то есть фигурами с равными сторонами и углами. Считается, что первым, кто сделал открытие, что таких тел только пять, был Пифагор. Пифагор матерью всех наук считал арифметику. Он доказывал это тем, что геометрия, музыка, астрономия зависят от нее, а она от них не зависит. Пифагор учил своих учеников, что наука математика имеет дело с множественностью, то есть составными частями вещи, которая представляет собой величину постоянную и изменяющуюся. Число есть термин, приложимый ко всему. Пифагор определял число как расширение и энергию сперматических состояний, содержащихся в монаде (всеобъемлющем едином). Общепризнанно, что пифагорейская математика является достаточно разработанной математической теорией. Каждому числу десятичной системы исчисления приписывались особые характеристики. Платон высоко ценил пифагорейский вклад в развитие математики. Первоначальные рассуждения о специфике математического знания явно связаны с попытками утвердить его особую ценность. Уже античные попытки указать на математику, как выделяющуюся по достоверности из иных возможных знаний, несли в себе элементы на ее обоснование как особого рода теоретической деятельности. Начиная с Платона, значительная их часть была основана на признании особого вида связей между человеком и предметом математики, прежде всего вследствие наличия у человека особых способностей. В диалоге «Федон» Платон утверждает наличие у души собственного свойства – способности размышления, которая направляется туда, где все чисто, вечно, бессмертно и неизменно. Такое понимание значения математики характерно для античности. Исключительность математического знания и познания в те времена была самоочевидной, особенно в контексте созерцательного понимания доказательности. Это мы могли видеть уже в пифагорейской школе математики. Его представители отделяли мир чувственных объектов, в котором царит случайность, от космоса как идеальной и гармоничной количественно-качественной основы мира, которая может быть понята только посредством умозрения. Математические утверждения опираются на разум, который способен без опоры на опыт отражать законы космоса31. Аристотель расходился во взглядах на сущность мира со своим учителем Платоном и выдвинул новую концепцию математики, исходя из первичности опытного знания. Аристотель был уверен, что математические объекты не являются чем-то существующим отдельно от вещей. Они связаны с вещами и возникают как таковые исключительно из способности человеческого разума к отвлечению, абстрагированию.
Другими словами, математик действительно строит особый мир, идеальный, основанный на отвлечениях, но этот мир не является независимым от чувственных вещей. Он берется как независимый лишь условно, для ясности и простоты анализа. Это было огромным шагом вперед. Значительное число учëных и сегодня придерживается такой же точки зрения. Математика вторична по отношению к физике. Исходные математические объекты есть по своей сути абстрактные схемы отношений. Такой эмпиризм имеет внутренние трудности, о которых мы будем говорить дальше.
Тем не менее, в античные и средневековые времена обоснованность математики не понималась исключительно в плане способностей субъекта. Было и понимание, апеллирующее к интерсубъективности математических результатов, определяемой сущностью самих вещей. Весьма показательно мнение на этот счет Боэция, ставшее затем общим местом для всей средневековой традиции. Если что-либо правильно сосчитано, то полученное число, несомненно, присуще сосчитанным вещам. Однако то, что вытекает из хода суждений, не обязательно присуще природе вещи. При этом обоснованность математического знания в целом, равно как и его общий статус, сомнению не подвергалась, разве только с точки зрения его полезности для спасения души человека.
В дальнейшем математика понималась как язык природы (Г. Галилей) и вопрос о ее обоснованности в этом контексте также не стоял – она была самообоснована. Математика вновь объявляется внечувственным знанием, основанным на специальной интеллектуальной интуиции. Декарт, Лейбниц отличали необходимую истину (математическую, логическую) от истины случайной, вытекающей из опыта. Вопрос о априорности математики (знаменитый квантовый вопрос: «Как возможна чистая математика?») получил развитие в «Критике чистого разума» родоначальника немецкой классической философии. Кант отказался от воззрения Лейбница на аналитичность необходимых истин. Аналитикой, по его мнению, обладает только логика (кстати, именно он определил ее как формальную логику), а остальные виды априорности истин являются синтетическими, в том числе и математика. Синтетичность математики обусловлена наличием в нашем сознании чистого созерцания, которое позволяет формировать положение априорности знания, не зависящего от опыта. И одновременно существование математических истин как синтетических, то есть не сводимых к тавтологиям, как это бывает с истинами аналитическими (логическими).
Исходные положения геометрии опираются, по Канту, на чистое представление о пространстве, а истины арифметики – на чистое представление о времени. Чистые представления пространства и времени являются составляющими исходных принципов (аксиом) как математики, так и логики математического мышления.
Математика, как считал И. Кант, опирается на два типа объектов – непосредственно данных в чистом созерцании и заданных своим правилом конструирования. Кант приводит такой аргумент в пользу этого положения: мы не можем созерцать тысячеугольник, однако мы имеем самоочевидную схему построения этой фигуры, и последнее дает основание говорить, несмотря на отсутствие зрительного образа этой фигуры, как об истинной.
Таким образом, Кант саму систему априорных структур основывал на математике. У него единственность и потому априорность пространства и времени как форм чувственности связана с достоверной действительностью чистой математики. Интересно отметить, что Кант считает «общее признание» априорности положений математики достаточным для обоснования наличия чистого синтетического познания. Другая сторона ситуации состоит в утверждении Кантом необходимости синтетических положений математики. Кант утверждает необходимость познаний и суждений математики без каких-либо оговорок и связывает их с конструированием чистых воззрений.
Уже из этого, по необходимости краткого, перечня можно заключить, что философия математики прошла несколько стадий. Исходя из знания философских предпочтений названных мыслителей, можно выделить несколько направлений развития математики – пифагореизм, платонизм, эмпиризм, априоризм и формализм. Не поддавайтесь искушению провести исторические параллели между этими направлениями и вышеперечисленными историческими эпохами. Если внимательно проанализировать историю, то можно заметить, что они зачастую сосуществуют в рамках одного исторического пространства. Несмотря на все их различие, есть нечто общее, что позволяет говорить о математике как едином теоретическом виде деятельности этих разных по своим философским позициям мыслителей.
Ничто не может поколебать многовековой традиции, согласно которой дедуктивное доказательство рассматривается как специфическая особенность математики, выделяющая ее среди других областей знания. Давно было замечено, что математические постулаты (теоремы) не подвергаются опровержению, т.е. являются аксиомами32. Именно это отличает аксиоматический метод математики от принятого в физике гипотетико-дедуктивного способа рассуждения. Доказательство в математике является вечной истиной, в то время как в физике нет ни одного положения, которое бы не корректировалось. Даже законы сохранения по-разному интерпретируются в классической механике и теории относительности. В математике все по-другому. Непосредственного коррелята с данными чувственного опыта нет, особенно если речь идет об отрицательных числах, мнимых числах или бесконечно малых величинах. Вопросы о том, что собой представляют число, линия, треугольник, обсуждаются в философии математики до сих пор. И нельзя сказать, что они нашли свое решение.
Некоторые из этих трудностей были разрешены в априоризме (XVII-XVIII века). В некоторой степени это было возращением к пифагореизму, к делению знания на чувственное и умопостигаемое. Математики XVII-XVIII веков развивали новый аппарат дифференциального и интегрального исчисления, основываясь на предметно-субъективных интуициях и не имея этому занятию иного обоснования, нежели то, что эти средства приводят к правильным результатам. И только в XIX веке было разработано относительно строгое построение математического анализа, которое и стало его обоснованием, по сути, вследствие возможности прямого конструктивного введения соответствующих объектов.
Интересно заметить, что развитие символической логики в конце XIX – начале XX века, предоставившей впоследствии аппарат для формального обоснования математики, протекало параллельно и независимо от процесса обращения к собственным основаниям последней у Лобачевского, Римана и Кантора. Тем не менее, появление неевклидовой геометрии в XIX веке существенно поколебало истинность кантовского априоризма, и в конце XIX века стало оформляться новое направление в математике – формализм. Трактовка цели и задач аксиоматизации математической теории существенно изменилась во второй половине XIX века, когда стало ясно, что каждая математическая теория допускает различные интерпретации.
С созданием математической физики, а также с институционализацией математики возник и специальный, также впоследствии институционализированный интерес к основаниям математики. На роль последних в то время претендовала бурно развивавшаяся теория множеств. Теоретико-множественное обоснование математики сначала воспринималось как внутрипредметное для математики, но довольно скоро было переведено в разряд метатеоретических и логических изысканий. Практически сразу же было показано (парадоксы Рассела, Кантора и т.д.), что неограниченный теоретико-множественный подход ведет к противоречиям, и в рамках обоснования математики от него отказались, хотя практикующие математики в основной массе продолжают использовать классическую теорию множеств как рабочее средство. Так происходит, как представляется, прежде всего потому, что в своей математической практике они не сталкиваются с необходимостью уточнения способов образования множеств.
В начале ХХ века Д. Гильберт сформулировал основные принципы формализации математики. Разумеется, формальная аксиоматика была разработана для теорий, относящихся к фундаменту теоретической математики. Это новое понимание математики вместе с Д. Гильбертом разделяли Г. Кантор, А. Пуанкаре и другие. Оно опиралась на следующие положения:
- Математика не является наукой, она представляет собой лишь метод логической трансляции опытного знания.
- Непротиворечивость является необходимым и достаточным требованием к математической теории.
- Математическая теория сама по себе не истинна, не ложна, понятие истинности применяется только при эмпирической интеграции ее понятий.
- Если обоснование содержательности науки состоит в установлении ее истинности, то обоснование математической теории заключается в доказательстве ее логической непротиворечивости.
В XX веке обоснования математики развивались, прежде всего, в духе логицизма и конструирования математической реальности. Это направление в первой половине XX века характерно для выделившихся относительно самостоятельных программ обоснования математики – логицизма, интуиционизма, формализма и конструктивизма.
Однако логицизм и формализм, ориентированные на идеалы выявления полной логической структуры теории и финитной разрешимости формализованных утверждений математики, довольно скоро натолкнулись на принципиальные ограничения в виде теорем Геделя и Тарского. Одним из смыслов теорем Геделя является принципиальный запрет на полную формализацию достаточно содержательной теории. Аналогичный ограничительный смысл теоремы Тарского состоит в том, что предикат истинности невыразим средствами самих формализованных систем.
Тем не менее, философия математики XX века в своей основе является формалистской, ибо она в отличие от своих предшественников подчеркивает логическую сущность математики. От математики не требуется наглядности, конструктивности. Современный математик не ставит математику рядом с науками, объясняющими опыт, а понимает ее как метод, созданный для схематизации истинности, взятой из опыта. Однако практика показывает, что возникает множество вопросов, которые не решаются в рамках формализма. Априорны или апостериорны необходимые представления математики, достижима ли в математике окончательная строгость, в какой мере надежными являются законы логики, существует ли завершенные математические доказательства? Эти проблемы ждут своего решения. Тем более, что математика включает в свое предметное пространство не только теоретическую, но и практическую составляющую этой научной деятельности. В теории и истории математики их часто представляют как фундаменталистские (теоретическая математика), так и нефундаменталистские (прикладная математика) направления развития математики. С таким пониманием природы математики соглашается большинство современных ученых.
Для второй половины XX века характерен кризис этих традиционных подходов к обоснованию математики. А в современной ситуации число подходов столь велико, что наблюдается «почти полная бесполезность [их] устойчивой классификации»33. По мнению В.В. Чусова, фактом современного существования математики является то, что большинство работающих математиков являются в практике своей работы стихийными платонистами, полагая самостоятельное и независимое от них существование объектов своей деятельности.
Итак, как мы видели, каждое направление не является свободным от проблем, но все же нефундаменталистское направление математики является не менее влиятельным в философии математики XX века. В соответствии с гносеологической и методологической традицией философии математики нефундаменталистское направление сформировалось в пространстве эмпиризма. Эмпиризм рассматривается как стремление объяснить математическое мышление на основе опыта, и такое толкование идет еще от Аристотеля. Но если Аристотель подразумевал выведение всех математических понятий из опыта, то современный математический эмпиризм, конечно, не может требовать того же.
Современный эмпиризм является методологическим в том смысле, что он видит определяющее влияние опыта не в математических определениях и принципах, а в методологии математики и в логике ее развития. Элемент философии математического эмпиризма присутствует в рассуждениях многих философов и математиков, например, К. Поппера, А.Н. Колмогорова. Систематизация эмпирического воззрения на математику была дана И. Лакатосом в серии статей, объединенных в «Доказательстве и опровержении». Лакатос пытался обосновать то положение, что любое, даже самое убедительное математическое доказательство может содержать в себе скрытые леммы, которые при их выявлении могут оказываться ложными или противоречивыми. Отсюда он делает вывод о несостоятельности проектов обоснования математических теорий, отличных от того относительного обоснования, которые получают эмпирические теории.
Математическая теория трактуется Лакатосом как вырожденный случай эмпирической теории, логика развития которой может быть понятна только исходя из логики развития эмпирической теории. Несмотря на влиятельность эмпиризма, многие не считают его перспективным направлением.
Если посмотреть на философию математики последнего столетия в целом, то надо признать, что она, в отличие от двух предшествующих веков не имела сколько-нибудь ярких прорывов, существенно расширявших понимание математического мышления. Она не породила идей, сравнимых по своему влиянию с такими концепциями, как априоризм или формализм. Она вращалась преимущественно в кругу старых идей. Дискуссионные проблемы, относящиеся к сущности математики, не нашли какого-то более или менее приемлемого решения.
Имеет ли математика специальный предмет или она все–таки только метод, используемый в других науках? В каком смысле математические объекты обладают реальностью? В какой мере математические истины открываются, а в какой изобретаются? Эти вопросы остаются вопросами без ответов. С другой стороны, математика претерпела существенные изменения. В начале века многие математики и философы были убеждены в возможности редукции математики к логике. Сейчас уже очевидно, что содержание математики выходит за пределы логики.
В.Я. Перминов указывает на несколько причин, обусловивших непродуктивность философии математики XX века. Это, прежде всего негативное влияние позитивной философии. Изгнание метафизики из философии привело к резкому огрублению философского и методологического мышления. Философия была заменена логикой и анализом языка, что не могло не сказаться на философии математики. Перестало осознаваться то обстоятельство, что развитие научной теории нуждается в апелляции к вненаучным представлениям, культивирование которых и составляет задачу философского мышления. Можно говорить, об общей деградации философского мышления в XX веке, – заявляет В.Я. Перминов34.
Не могу согласиться с таким обобщением, но есть мнение, с которым не согласиться невозможно: «…существующий прорыв в философии математики зависит в настоящее время от сдвигов в теории познания и прежде всего от продвижения в разрешении традиционного спора между рационализмом и сенсуализмом»34. Правда, спор этот вряд ли разрешится в пользу сенсуализма или в пользу рационализма. Но когда речь идет о современном уровне эпистемологии в целом и математики, в частности, то ставка делается на рационализм. История подтверждает, что математические понятия есть не что иное, как особые идеальные формы освоения действительности в ее количественных характеристиках.
Сущность процесса математизации как раз заключается в применении количественных понятий и формальных методов математики к качественно разнообразному познанию частных наук. Чем сложнее объект, чем к более высокой форме движения материи он принадлежит, тем труднее он поддается изучению количественными методами. Разумеется, нельзя переоценивать значение количественных методов. В. Гейзенберг считал, что физические проблемы нельзя разрешить исходя из «чистой математики», и в связи с этим разграничивал формальное, математическое и содержательное, философское знание. Тенденцию к абстрактности Гейзенберг считал характерной для развивающегося научного познания, но ее нельзя переоценивать. С другой стороны, нельзя забывать и завещание Галилея: «Книга Вселенной написана на языке математики», следовательно, читать данную книгу сможет только тот, кто знает этот язык. В теоретической физике большая часть ее пространства занята математическим аппаратом. По этому пути многие физики-теоретики начали идти еще в XV??? веке.
Эмми Нетер продолжила эту традицию. Теорема, носящая ее имя, является самым фундаментальным вкладом женщины-математика в теоретическую физику. И это притом, что с математической точки зрения (Нетер – математик), этот результат довольно прост по сравнению с другими ее достижениями в науке. Новые «математизированные» разделы теоретической физики не единичный пример математизации науки. В.П. Кохановский приводит примеры «захвата» математикой других областей научного знания – экономику, историю, социологию, психологию.
В современной психологии сформировалась и развивается особая научная дисциплина – математическая психология. Применение количественных методов становится все более широким и всеохватывающим в истории. Возникла новая научная дисциплина – клиометрия (измерение истории), в которой математические методы выступают главным средством изучения. В настоящее время одним из основных инструментов математизации науки становится математическое моделирование. Его сущность заключается в замене исходного объекта соответственной математической моделью и в дальнейшем ее изучении (экспериментировании) на ЭВМ с помощью вычисления алгоритмов35.
Что главное в процессе математизации науки? Прежде всего, то, что математика позволяет и помогает сформировать интуитивные идеи и гипотезы в такой форме, которая допускает количественную проверку.
Еще одной проблемой в философии математики является вопрос о месте математики в структуре научного знания. Традиционную математику считают точной наукой, но, как показала история, ее развитие – «точность» – понятие довольно условное. В современной философии науки появились попытки «прописать» математику в социально-гуманитарной области научного познания. Как считает В.В. Целищев, дискуссия о том, что представляют собой математические объекты, не завершилась. И сам В.В. Целищев полагает, что в рамках философии математики следует отказаться от решения вопроса о статусе математики в традиционном смысле и осуществить эпистемологическую революцию36.
Ю.В. Пушкарев в рамках кандидатской диссертации разрабатывает появившуюся в нашей литературе точку зрения о том, что математические объекты по своей природе являются семиотическими, а следовательно, сама математика является гуманитарной наукой37.
В конце XX века акцент на гуманитарное и социокультурное познание математических объектов представлен в работах Р. Коллинза, М.А. Розова, А.Г. Барабашева. Например, М.А. Розов предложил решение о способе бытия математических объектов в рамках теории социальных эстафет. По его мнению, «математические объекты не зависят от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению, как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам»38. Если в математике количественные характеристики онтологизируются во временных или темпоральных параметрах, то для пространственных или топических параметров необходима геометрия.
В Древней Греции существовало несколько подходов к пониманию геометрии. После арифметики это была одна из самых почитаемых наук. Сами системы, созданные в рамках количественных отношений мира, были направлены не только на то, чтобы математически упорядочить геометрическое знание, но и на объяснение природы геометрических объектов, придание им не только гносеологического, но и онтологического статуса.
Скажем, у Демокрита все фигуры строились из конечного числа неделимых атомов, имеющих конечные размеры. Для Анаксагора, напротив, не существовало никаких неделимых. Он был уверен, что не существует наименьшего, но всегда имеется меньшее, то есть фигуры в его геометрии не могли иметь неделимых оснований.
Самой известной и авторитетной системой геометрии античности является система Евклида, положения которой он изложил в 13-томном труде. Евклидова геометрия и по сей день служит основой для школьного курса геометрии как у нас, так и на западе. Более того, до открытия Николаем Лобачевским неевклидовой геометрии, связанной с изменением пятого постулата Евклида, вся геометрическая наука базировалась на евклидовой системе.
В геометрии Евклида существуют «неделимые» (точки), которые не могли иметь никакого изменения. Геометрические фигуры у него содержат в себе точки, но не состоят из них как из частей. Его система строится для единой области объектов, причем эти объекты предполагаются уже известными до установления аксиомы32.
Геометрия занимается изучением геометрических форм. Чем отличается объект геометрии – точка, прямая плоскость, круг, шар, конус от соответствующего им эмпирического коррелята? Скажем шар от мяча? Тем, что геометрический объект не предполагает наличия у себя физических, химических и прочих свойств, за исключением геометрических. В силу этого факта и принято считать, что шар – объект математической теории, а не эмпирической.
Изложение геометрии Евклида начинается с перечисления некоторых исходных положений, а все остальные так или иначе выводятся из них. Далее, среди множества всех геометрических понятий, употребляемых им в «Началах», он выделяет такие, которые считает за исходные, а все остальные стремится определить через них. Класс исходных положений (аксиом и постулатов) и класс исходных геометрических понятий Евклид рассматривает в качестве интуитивно ясных, самоочевидных.
В качестве отличительных черт той системы аксиом, на основе которых Евклид развертывает геометрию, можно назвать следующие: во-первых, под аксиомами понимали интуитивно ясные, истинные высказывания, у которых предполагается некоторое вполне определенное содержание. Во-вторых, интуиция и дедукция дополняли друг друга, недостатки того или другого восполнялись наглядно – чертежом или построением при помощи циркуля и линейки. Тем не менее, геометрия Евклида служила образцом логической точности и строгости, не только для математики, но и для всего научного знания на протяжении многих веков. В XVII веке Декарт создает аналитическую геометрию, не противоречащую Евклидовой. В XIX-XX веках появляется неевклидова геометрия Лобачевского и Римана. В «Геометрических исследованиях» Н.И. Лобачевский написал: «В геометрии я нашел некоторые несоответствия, которые я считаю причиной того, что эта наука до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы того состояния, в каком она к нам пришла от Евклида. К этим несоответствиям я отношу неясность в первых понятиях о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории параллельных»39.
Итак, из сказанного можно сделать вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле и есть все основания полагать, что возможности ее положительного решения не так ограничены, как это представляют себе скептики40.
|