МОДУЛЬ 3. Электричество и магнетизм

ТЕМА 3.6. Магнитное поле
в вакууме и веществе

3.6.1 Взаимодействие токов. Магнитное поле

3.6.2 Закон Био-Савара-Лапласа. Магнитные поля прямого и кругового токов

3.6.3 Магнитное поле в веществе

3.6.1. Взаимодействие токов.
Магнитное поле

Опыт показывает, что два тонких прямолинейных проводника, по которым текут токи, притягивают друг друга, если токи в них текут в одинаковом направлении, и отталкиваются в противном случае. Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из проводников, пропорциональна произведению токов, текущих в них, и обратно пропорциональна расстоянию между проводниками:

(3.6.1)

где μ₀ = 4p·10^-7 Гн/м - магнитная постоянная.

Формула (3.6.1) записана в системе СИ. Это соотношение было установлено в 1820 г. Андре Ампером и носит название закона Ампера.

С помощью формулы (3.6.1) устанавливается единица силы тока в системе СИ: 1 А определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2·10^-7 Н на каждый метр длины.

Взаимодействие токов осуществляется посредством поля, которое называется магнитным. Для исследований магнитного поля применяют пробный ток, циркулирующий в плоском замкнутом контуре очень малых размеров. Ориентацию контура в пространстве характеризует вектор нормали к его плоскости, причем положительным считают направление нормали, связанное с направлением тока по правилу правого винта (Рис. 3.6.1).

Рис. 3.6.1. Пробный контур

Если внести пробный контур в магнитное поле, то обнаружится, что поле оказывает на контур ориентирующее действие, поворачивая его в определенном направлении. Это направление и принимают за направление магнитного поля в данной точке. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникает вращающий момент, стремящийся вернуть контур в равновесное положение. Величина этого момента зависит от угла a между нормалью и направлением тока, достигая наибольшего значения М_макс при α=90°, и обращается в нуль при α=0°.

Введем магнитный момент контура:

(3.6.2)

где S - площадь контура.

Тогда, исходя из опыта, можно записать:

(3.6.3)

где для количественной характеристики магнитного поля введена физическая величина, называемая магнитной индукцией.

Соотношение (3.6.3) определяет модуль вектора В. Следовательно, выполняется:

(3.6.4)

Направление вектора совпадает с направлением нормали к пробному контуру. Поле этого вектора наглядно представляют с помощью линий магнитной индукции.

Из сказанного следует, что вектор характеризует силовое действие магнитного поля.

3.6.2. Закон Био-Савара-Лапласа.
Магнитные поля прямого и кругового токов

Для расчета магнитной индукции поля в результате обобщения экспериментальных данных Био и Савара Лаплас предложил формулу:

(3.6.5)

где i - сила тока, - вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный так же, как и ток, - вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, где производится наблюдение поля (Рис. 3.6.2).

Рис. 3.6.2. К закону Био-Савара-Лапласа

Направление вектора задается векторным произведением в (3.6.5), т.е. этот вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора и , причем так, что, если смотреть из конца вектора , то поворот от вектора к производится против часовой стрелки. Единицей магнитной индукции в СИ является 1 Тл (Тесла).

Модуль вектора можно вычислить с помощью формулы:

(3.6.6)

где α - угол между векторами и .

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 3.6.3).

Рис. 3.6.3. К расчету магнитного поля бесконечного прямого проводника

Все векторы в данной точке имеют одинаковое направление (перпендикулярно плоскости чертежа и за него).

Поэтому сложение этих векторов можно заменить сложением их модулей. Пусть точка, для которой вычисляется поле, находится на расстоянии b от проводника. Из Рис. 3.6.3 ясно, что:

(3.6.7)

Подставим этот результат в формулу (3.6.6):

(3.6.8)

Угол α изменяется от 0 до π. Следовательно, получим:

(3.6.9)

Линии магнитной индукции поля прямого проводника представляют собой систему концентрических окружностей (Рис. 3.6.4).

Рис. 3.6.4. Магнитное поле прямого проводника

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по проводнику в виде окружности радиуса R (Рис. 3.6.5).

Рис. 3.6.5. К расчету поля кругового тока

Найдем магнитную индукцию в центре окружности. Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру. Ее направление определяется по правилу правого винта. Поэтому вычисление магнитной индукции сводится к сложению модулей. Поскольку α = π/2, то из формулы (3.6.6) следует:

(3.6.10)

Интегрируя (3.6.10) по всему контуру, получим:

(3.6.11)

Найдем магнитную индукцию на оси кругового тока, на расстоянии х от плоскости, в которой лежит контур (Рис. 3.6.6).

Рис. 3.6.6. Магнитное поле на оси кругового тока

Векторы перпендикулярны к плоскостям, проходящим через векторы и . Следовательно, они образуют симметричный конус. Ясно, что результирующий вектор должен быть направлен по оси контура. Каждый из векторов вносит вклад , который по модулю равен:

(3.6.12)

Угол между векторами и - прямой, поэтому выполняется:

(3.6.13)

Интегрируя по всему контуру с током и учитывая, что , получим:

(3.6.14)

При х = 0 эта формула переходит в (3.6.11) для индукции магнитного поля в центре кругового тока.

3.6.3. Магнитное поле в веществе

Если несущие ток проводники находятся в какой-либо среде, магнитное поле заметно изменится. Это объясняется тем, что любое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество создает магнитное поле ´, которое складывается с полем, обусловленным токами ₀. Оба поля в сумме дают результирующее усредненное (макроскопическое) поле в среде:

(3.6.15)

Для объяснения явления намагничивания тел Ампер предположил, что в атомах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным образом, вследствие чего их результирующее магнитное поле равно нулю. Под действием поля магнитные моменты атомов приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается. - его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Возникает поле ´.

Намагниченность вещества характеризуют магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагниченности . В общем случае имеем:

(3.6.16)

где ΔV - физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, - магнитный момент отдельной молекулы.

Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме ΔV.

Найдем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность:

(3.6.17)

Опыт показывает, что линии магнитного поля, в отличие от линий напряженности электрического поля, всегда замкнуты. Поэтому интеграл в (3.6.17) должен быть равен нулю, поскольку каждая из линий магнитной индукции пересекает замкнутую поверхность четное число раз - входит в поверхность столько же раз, сколько и выходит. Следовательно, выполняется:

(3.6.18)

Это равенство выражает теорему Гаусса для вектора магнитной индукции: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Для описания магнитных свойств магнетиков удобно использовать вспомогательную величину - напряженность магнитного поля:

(3.6.19)

Единица измерения в СИ - 1 А/м. Величина напряженности магнитного поля зависит только от суммы макроскопических токов и не зависит от молекулярных токов. В свою очередь, намагниченность зависит только от суммы молекулярных токов. Как показывает опыт, намагниченность пропорциональна величине напряженности магнитного поля:

(3.6.20)

где χ - материальная характеристика способности тел намагничиваться, называемая магнитной восприимчивостью.

Подставляя (3.6.20) в (3.6.19), получим:

(3.6.21)

где μ = 1 + χ - магнитная проницаемость вещества.

Из (3.6.21) получается простое соотношение:

(3.6.22)

которое называют материальным уравнением магнитостатики.

Для вакуума χ = 0, μ = 1, и уравнение (3.6.22) будет иметь вид:

(3.6.23)

Как в уравнении (3.6.22), так и в уравнении (3.6.23) поле имеет смысл внешнего магнитного поля. Перепишем (3.6.19) в виде:

(3.6.24)

Сравнивая (3.6.24) с (3.6.15), с учетом (3.6.23) имеем:

(3.6.25)

Подставляя (3.6.23) в (3.6.21), имеем:

(3.6.26)

Отсюда следует важный вывод: относительная магнитная проницаемость показывает, во сколько раз усиливается магнитное поле в магнетике по сравнению с вакуумом.