Тема №9 Поверхности вращения

1. Образование поверхностей вращения

2. Частные виды поверхностей вращения

3. Конические сечения

Контрольные вопросы

Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 59а, задача 59б, задача 59в

1. Образование поверхностей вращения

Поверхностью вращения общего вида называется поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси (рис. 45). Каждая точка образующей при вращении вокруг оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшую из них называют экватором, наименьшую – горлом. Плоскости, проходящие через ось вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, – меридианами. Плоскость, параллельную плоскости проекций, называют главной меридиональной плоскостью, а линию пересечения ее с поверхностью – главным меридианом.

При задании поверхности вращения на чертеже указывают проекции ее оси, главного меридиана и экватора.

Рисунок 45

2. Частные виды поверхностей вращения

Существует широкий класс поверхностей вращения, у которых образующей является прямая линия. Из них наиболее известны цилиндрическая и коническая поверхности. Цилиндрическая поверхность образуется при вращении прямой линии вокруг оси, параллельной ей. Расстояние от оси i до прямой l называется радиусом.

Если образующая не параллельна оси, то поверхность носит название конической. Точка пересечения оси и образующей называется вершиной. На рисунке 46 изображены цилиндрическая и коническая поверхности.

Рисунок 46

Рассмотрим поверхности, у которых образующей является окружность. Если ось вращения совпадает с одним из диаметров окружности, то такая поверхность носит название сферы.

Если же ось вращения не проходит через центр окружности, то образуется поверхность, называемая тором. Тор может быть открытым или закрытым. Открытый тор в том случае, когда расстояние от оси вращения до центра вращаемой окружности превышает ее радиус, и закрытым тор будет являться, если расстояние от оси до центра окружности меньше ее радиуса. На рисунке 47 изображены сфера и тор.

Рисунок 47

3. Конические сечения

Конус является универсальной поверхностью, при сечении которой можно получить все виды плоских кривых - окружность, эллипс, параболу и гиперболу. Если же секущая плоскость проходит через вершину конуса, то в сечении получим прямые линии - образующие конуса.

На рисунке 48 показаны возможные варианты пересечения конуса плоскостями, при которых получаются различные виды плоских кривых.

Рисунок 48

Горизонтальная плоскость Г дает в сечении окружность. Угол наклона этой плоскости к оси конуса Y = 90°. Плоскость Т, параллельная одной из образующих конуса, то есть имеющая такой же угол наклона к оси Y =Y0, дает в сечении параболу.

Если угол наклона секущей плоскости меньше угла конуса Y < Y0 - плоскость Р, то в сечении получается гипербола.

В случае Y > Y0 - плоскость Q, в сечении будет эллипс.

Контрольные вопросы

1. Какая линия называется экватором поверхности вращения?

2. Как образуется открытый и закрытый тор? Как они выглядят?

3. Назовите плоские кривые, образующиеся при сечении конуса различными плоскостями.

4. Как должна быть расположена секущая плоскость, чтобы в сечении конуса получилась парабола?