Тема №11 Взаимное пересечение поверхностей. Способ секущих плоскостей

1. Случаи взаимного пересечения поверхностей

2. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Контрольные вопросы

Контрольные задания по теме: эпюр № 4, эпюр № 5 (вариант назначает преподаватель)

1. Случаи взаимного пересечения поверхностей

При решении задач на взаимное пересечение поверхностей требуется, как правило, найти линию общую для двух или более поверхностей. В случае пересечения гранных поверхностей линией пересечения является ломаная, если пересекаются гранная поверхность и поверхность вращения, то это плоские кривые. Поверхности вращения пересекаются по пространственной кривой.

Существуют следующие случаи взаимного пересечения поверхностей:

1) частичное врезание - когда часть образующих или ребер одной поверхности пересекаются частью образующих или ребер другой. В этом случае линия взаимного пересечения представляет собой замкнутую пространственную кривую или ломаную;

2) полное проницание - когда все образующие или грани одной поверхности пересекаются с другой. В этом случае линия пересечения распадается на две отдельных кривых или ломаных;

3) одностороннее внутреннее соприкасание - пересекающиеся поверхности имеют в одной точке общую плоскость касания. Кривая линия пересечения в этом случае пересекается сама с собой в точке касания;

4) двойное соприкасание - пересекающиеся поверхности имеют две общие касательные плоскости. При этих условиях в пересечении участвуют все образующие одной поверхности и все образующие второй. В этом случае линия пересечения распадается на две плоские кривые, которые пересекаются в точке пересечения касательных плоскостей (теорема Монжа).

2. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Для построения линии пересечения двух поверхностей их пересекают третьей поверхностью, которую называют посредником. В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, которые пересекали бы данные поверхности по простым линиям - окружностям или прямым. Обычно поверхности - посредники - это плоскости или сферы.

Прежде чем решить вопрос, какую вспомогательную поверхность выбрать, следует выяснить, не занимает ли одна из данных поверхностей проецирующее положение, так как в этом случае решение задачи значительно упрощается. Одна из проекций линии пересечения будет совпадать с очерком проецирующей поверхности. И решение сводится к построению недостающей проекции линии, принадлежащей поверхности по одной ее проекции и по проекциям поверхностей.

Рассмотрим пример пересечения двух поверхностей вращения - конуса и цилиндра. Условие задачи дано на рисунке 53. Цилиндр является фронтально - проецирующей поверхностью, поэтому на фронтальной плоскости проекций линия пересечения будет совпадать с очерком цилиндра. Выбираем опорные точки, лежащие на осях цилиндра и конуса, а также на очерке конуса. Проекции точек находим при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Точки 4 и 5 являются границей видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости.

Рисунок 53

Контрольные вопросы

1. Какие бывают случаи взаимного пересечения поверхностей?

2. Какая линия получится при пересечении двух гранных поверхностей? Двух поверхностей вращения?

3. Какие точки называются опорными?

4. Как определять видимость линии пересечения и поверхностей?

5. Какие способы построения линии взаимного пересечения поверхностей вы знаете?