ТЕМА 3.3. Проводники в электрическом поле
3.3.1. Равновесие зарядов на проводнике
3.3.2. Электроемкость
3.3.3. Конденсаторы
3.3.1. Равновесие зарядов на проводнике
Носители заряда в проводнике способны перемещаться под действием сколь угодно малых сил. Поэтому для равновесия зарядов на проводнике необходимо выполнение таких условий:
- Напряженность электрического поля всюду внутри проводника должна быть равна нулю:
Если допустить обратное, то появятся электрические силы, пропорциональные напряженности электрического поля, которые вызовут движение зарядов такое, которое приведет к новому равновесному распределению зарядов. В соответствии с (3.1.36) условие (3.3.1) означает, что потенциал внутри проводника должен быть постоянным (φ = const). Кроме того, отсутствие электрического поля внутри проводника, согласно теореме Гаусса, приводит и к отсутствию электрических зарядов внутри проводника.
- Напряженность электрического поля на поверхности проводника должна быть в каждой точке направлена по нормали к поверхности:
В этом случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной. Действительно, представим себе воображаемую поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал. Ее уравнение имеет вид:
При перемещении по эквипотенциальной поверхности на отрезок dl потенциал не изменится (dφ = 0). Следовательно, согласно
(3.1.33), касательная к поверхности составляющая вектора  равна нулю. Отсюда следует, что вектор в каждой точке направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку.
Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то он распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Поскольку внутри проводника зарядов быть не может, любой избыточный заряд должен разместиться на поверхности проводника. Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном распределении зарядов. Таким образом, избыточный заряд распределится на полом проводнике точно так же, как и на сплошном, т.е. на его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут, что вытекает из того обстоятельства, что согласно закону Кулона, одноименные элементарные заряды, образующие заряд q, взаимно отталкиваются и стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.
При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные в направлении вектора Е, отрицательные - в противоположную сторону. В результате у концов проводника возникают заряды противоположного знака, называемые индуцированными зарядами (Рис. 3.3.1).
Рис. 3.3.1. Изменение электрического поля при внесении незаряженного проводника
Поле этих зарядов направлено противоположно внешнему полю. Следовательно, накопление зарядов у концов проводника приводит к ослаблению в нем поля. Перераспределение зарядов происходит до тех пор, пока не будут выполнены условия (3.3.1) и (3.3.2). Следовательно, незаряженный проводник, внесенный в электрическое поле, разрывает часть линий напряженности - они заканчиваются на отрицательных и вновь начинаются на положительных зарядах на поверхности проводника.
Индуцированные заряды распределяются по внешней поверхности проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при равновесном распределении зарядов поле внутри нее равно нулю. На этом основано действие электростатической защиты: когда какой-либо прибор хотят защитить от внешних электрических полей, его помещают в проводящий экран.
3.3.2. Электроемкость
Сообщенный проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Если проводнику, уже имеющему заряд q, сообщить еще заряд той же величины, то и этот заряд должен распределиться аналогично первому, т.е. так, чтобы напряженность поля внутри проводника была равна нулю. Это справедливо при условии, что увеличение заряда не вызывает изменений в распределении зарядов на окружающих телах.
Потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду, поскольку увеличение в некоторое количество раз заряда приводит и к увеличению в то же число раз напряженности поля в окружающем проводник пространстве. Следовательно, так же возрастет работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника - потенциал. Поэтому для уединенного проводника должно выполняться соотношение:
Коэффициент пропорциональности называется электроемкостью (кратко - емкостью) проводника. Из (3.3.4) следует, что:
Это означает, что для данного уединенного проводника отношение его заряда к потенциалу есть величина постоянная и равная электроемкости. Последняя численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.
Найдем потенциал заряженного шара радиуса R. Используя (3.1.40), можно получить потенциал шара, проинтегрировав (3.1.22) от R до ∞:
Тогда с помощью (3.3.5) получим:
Если учесть, что величина электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью уменьшается в ε раз, то имеем для сферы:
Следовательно, емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, равна:
т.е. увеличилась в ε раз по сравнению со случаем, когда шар находится в вакууме или окружен воздухом.
За единицу емкости в системе СИ принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему зарядя в 1 Кл. Эта единица называется фарадой (1 Ф). Связь единиц системы СИ и СГСЭ имеет вид:
Емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиуса 9·109 м, т.е. в 1500 раз большим, чем радиус Земли. Следовательно, 1 Ф - очень большая величина. Поэтому на практике применяют
дробные единицы
- мкФ или пФ.
3.3.3. Конденсаторы
Уединенные проводники обладают относительно малой емкостью. Шар размерами, равными Земле, мог бы иметь емкость всего 700 мкФ. В электро - и радиотехнике есть необходимость в устройствах, которые обладали бы способностью при относительно небольшом потенциале накапливать значительную величину заряда. В основу таких устройств - конденсаторов положен тот факт, что емкость проводника возрастает при приближении к нему других тел.
Конденсаторы делают в виде двух проводников, расположенных близко друг к другу. Эти проводники называют обкладками. Форма и расположение обкладок должны быть такими, чтобы внешние тела не оказывали влияние на конденсатор, т.е. поле, создаваемое зарядами конденсатора, должно быть сосредоточено внутри обкладок. Этому условию удовлетворяют плоский, цилиндрический и сферический конденсаторы.
Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии электрической индукции начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Следовательно, свободные заряды, сосредоточенные на разных обкладках, будут иметь одну и ту же величину, но противоположный знак. Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная отношению заряда одной из обкладок к разности потенциалов на обкладках:
Величина емкости определяется геометрическими размерами конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей зазор между обкладками. Емкость не зависит от того, из какого проводящего материала сделаны обкладки.
Найдем формулу емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, заряд на ней q и между пластинами находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε, то напряженность поля в такой системе имеет значение:
Согласно (3.1.33), разность потенциалов имеет вид:
тогда для емкости плоского конденсатора получаем формулу:
Отсюда следует, чтобы получить возможно большую емкость, нужно взять наибольшую площадь обкладок, расположить их на минимальном расстоянии друг от друга и поместить в зазоре между ними диэлектрик с высоким значением диэлектрической проницаемости ε.
Помимо емкости, каждый тип конденсаторов характеризуется предельной разностью потенциалов (напряжением) Uмакс = φ1 - φ2, которые можно прилагать к обкладкам, не опасаясь его пробоя. При превышении этого значения между обкладками возникает искра, которая разрушает диэлектрик и выводит из строя конденсатор.
Используя несколько конденсаторов, можно изменять емкость такой системы, используя различные способы их соединения. Наиболее важные - параллельное и последовательное соединения.
При параллельном соединении (Рис. 3.3.2) одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал φ1, а другая - φ2.
Рис. 3.3.2. Параллельное соединение конденсаторов
На каждой из двух систем соединенных обкладок накапливается суммарный заряд:
Из (3.3.14) легко получить емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов:
Емкости в этом случае складываются. Предельное напряжение равно наименьшему из Uмакс конденсаторов, включенных в батарею.
На Рис. 3.3.3. показано последовательное соединение конденсаторов.
Рис. 3.3.3. Последовательное соединение конденсаторов
Вторая обкладка первого конденсатора образует с первой обкладкой второго конденсатора единый проводник. То же самое справедливо для второй обкладки второго конденсатора и первой обкладки третьего конденсатора и т.д. Следовательно, для всех так соединенных конденсаторов характерна одинаковая величина заряда q на обкладках. Поэтому напряжение на каждом из конденсаторов имеет величину:
Сумма этих напряжений равна разности потенциалов, приложенной к батарее:
Из (3.3.17) следует формула емкости последовательно соединенных конденсаторов:
| 
