Часть вторая

Теоретические основы построения чертежа

Глава 10. Позиционные задачи

§ 61. Пересечение прямой с плоскостью

Прямая пересекает плоскость в одной точке. Точку пересечения прямой с плоскостью определяют путем построения вспомогательной прямой линии, лежащей в одной проецирующей плоскости с заданной прямой. На рис. 119, а приведен комплексный чертеж прямой l и плоскости Θ(ABC), причем m ∈ Θ(ABC).

Рис. 119, a

Через горизонтальную проекцию прямой l₁ проводим проекцию вспомогательной горизонтально проецирующей плоскости Σ₁. В пересечении плоскостей Θ и Σ получаем линию m, т. е. m = Σ ∩ Θ. Горизонтальная проекция прямой m определяется горизонтальными проекциями точек 1 и 2 пересечения линий ВС и АС со вспомогательной плоскостью Σ, т. е. В₁С₁ ∩ Σ = 1₁; A₁C₁ ∩ Σ = 2₁; m₁ = 1₁ ∩ 2₁.

Для получения фронтальной проекции линии l построим фронтальные проекции точек 1 и 2, соединив которые, получим фронтальную проекцию m₂. В пересечении фронтальных проекций прямых m и l получим фронтальную проекцию точки К, принадлежащей и прямой l, и прямой m, лежащей в плоскости Σ. Значит, точка К принадлежит и плоскости Σ и является точкой пересечения прямой l с плоскостью Σ.

Видимость прямой и плоскости относительно горизонтальной плоскости проекций определяется с помощью горизонтально конкурирующих точек 2 и 3, а видимость относительно фронтальной плоскости проекции - с помощью фронтально конкурирующих точек 3 и 4.

Если плоскость занимает частное положение, то одна проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется сразу в пересечении вырожденной проекции плоскости с соответствующей проекцией прямой (рис. 119, б).

Рис. 119, б

Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, то на комплексном чертеже проекции этой прямой располагаются перпендикулярно проекциям соответствующих линий уровня плоскости на основании теоремы о проецировании прямого угла (см. § 29).

На рис. 120 построены проекции основания M перпендикуляра n, проведенного к плоскости Θ(ABC) из точки К пространства.

Рис. 120

В ∆АВС имеем: АВ - горизонталь (А₂В₂ ⊥ А₂А₁), АС - фронталь (A₁C₁ ⊥ A₁A₂). Поэтому проекции перпендикуляра n ∋ К располагаются: n₁ ⊥ A₁B₁ и n ⊥ A₂C₂. Основание перпендикуляра на плоскости построено с помощью вспомогательной линии а плоскости, лежащей в одной с перпендикуляром n горизонтально проецирующей плоскости (а ∩ n = М).

Если прямая пересекает плоскость в бесконечности, то имеет место параллельность прямой с плоскостью. На рис. 121 построена прямая m, проходящая через точку N и параллельная плоскости треугольника KLM. На комплексном чертеже параллельность прямой и плоскости доказывается тем, что m ׀׀ а₁ и m₂ ׀׀ а₂; а ∈ KLM.

Рис. 121

Инженерная графика

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения