Часть вторая

Теоретические основы построения чертежа

Глава 11. Метрические задачи

§ 73. Развертки пирамидальных и конических поверхностей

Развертки пирамидальных и конических поверхностей строят способом триангуляции (способом треугольников). Построение разверток этих поверхностей сводится к многократному построению истинных величин треугольников, из которых состоит поверхность развертываемой пирамиды или которой заменяют развертываемую коническую поверхность.

На рис. 148 построена полная развертка пирамиды SABC, усеченной фронтально проецирующей плоскостью Σ(Σ₂).

Рис. 148

Сначала нужно построить развертку боковой поверхности всей пирамиды (фигуру S С А В С), состоящую из натуральных величин боковых граней. Для этого необходимо определить истинную величину боковых ребер. На рис. 148 истинная величина ребер AS, BS, CS построена способом прямоугольного треугольника. В данном случае одним катетом взято превышение точки S над точками А, В и С, а вторым катетом - горизонтальная проекция соответствующего ребра. Гипотенузы S₂C*, S₂B* и дают истинную величину боковых ребер. Основание пирамиды расположено горизонтально, поэтому на плоскости П₁ имеем истинную величину и самого основания ∆АВС, и его сторон АВ, ВС, АС.

Каждая боковая грань на развертке строится как треугольник по трем сторонам. CS - самое короткое боковое ребро, поэтому рациональнее мысленно разрезать пирамиду по этому ребру.

Для нанесения на развертку точек D, E и F, соответствующих вершинам сечения пирамиды плоскостью Σ, нужно определить истинные расстояния этих точек от вершины S. После построения развертки боковой грани поверхности усеченной части пирамиды нужно пристроить к ней треугольники A B C и D E F, дающие истинную величину основания и сечения пирамиды.

На рис. 149 способом триангуляции построена развертка конической поверхности, которая заменена поверхностью вписанной в нее двенадцатиугольной пирамиды. Развертка представляет собой симметричную фигуру, так как поверхность имеет плоскость симметрии Σ. В этой плоскости лежит самая короткая образующая S-6. По ней и сделан разрез поверхности. Самая длинная образующая S-0 является осью симметрии развертки поверхности.

Рис. 149

Натуральные величины образующих определены с помощью прямоугольных треугольников, как в предыдущей задаче на рис. 149. От оси симметрии S-0 строим шесть в одну сторону и шесть в другую сторону примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Каждый из треугольников строим по трем сторонам, при этом две стороны равны истинным величинам образующих, а третья хорде, стягивающей дугу окружности основания между соседними точками деления. Построенные на развертке точки 0, 1, 2, ... соединяются.

Построение развертки значительно упрощается, если поверхность представлена прямой пирамидой правильной формы или прямым круговым конусом. На рис. 150 приведена развертка четырехгранной прямой пирамиды.

Рис. 150

Построение ее упрощается тем, что образующие пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее спроецировались в натуральную величину. Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить стороны AS и сделать засечки радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А соответственно, получим точку В и т. д. Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон (на рис. 150 - на базе стороны АВ). Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (М₂) проведем горизонтальную линию до пересечения с ребрами А₂S₂ и B₂S₂. Получим точки 1₁ и 2₂. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD, на которой нанесем точку М в том положении, которое она занимает на горизонтальной проекции линии 1, 2.

На рис. 151 приведен пример построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса l на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки - точку S, радиусом L проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построим развертку.

Рис. 151

Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из точки М₂ проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей L и получим точку М₂. Расстояние от основания конуса до точки М₂ по образующей является высотой точки, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS. Полученная точка определит истинное положение точки М на развертке.

Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую вписан правильный двенадцатиугольник, т. е. коническая поверхность условно заменена поверхностью, вписанной правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен способ триангуляции.

Инженерная графика

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения